Использование в жизни распределительного закона. Законы умножения и сложения

Нашествие с Востока

Монголо-татары пришли на Русь из глубин Центральной Азии. Образованная в 1206г. империя во главе с ханом Темучином, принявшим титул хана всех монголов (Чингисхана), к 30-м гг. XIII в. подчинила своей власти Северный Китай, Корею, Среднюю Азию, Закавказье. В 1223 г. в битве на Калке объединенное войско русских и половцев потерпело поражение от 30-тысячного отряда монголов. Чингисхан отказался от продвижения в южнорусские степи. Русь получила почти пятнадцатилетнюю передышку, но воспользоваться ею не смогла: все попытки объединения, прекращения междоусобиц оказались тщетными.

В 1236 г. внук Чингисхана Батый начал поход на Русь. Покорив Волжскую Булгарию, он в январе 1237 г. вторгся в Рязанское княжество, разорил его и двинулся дальше на Владимир. Город, несмотря на ожесточенное сопротивление, пал, а 4 марта 1238 г. в битве на реке Сить был убит великий князь владимирский Юрий Всеволодович. Взяв Торжок, монголы могли идти на Новгород, но весенняя распутица и большие потери заставили их вернуться в половецкие степи. Это движение на юго-восток иногда называют «татарской облавой»: по дороге Батый грабил и сжигал русские города, которые мужественно сражались с захватчиками. Особенно ожесточенным было сопротивление жителей Козельска, прозванного врагами «злым городом». В 1238- 1239 гг. монголо-татары завоевали Муромское, Переяславское, Черниговское княжества.

Северо-Восточная Русь была разорена. Батый повернул на юг. Героическое сопротивление жителей Киева было сломлено в декабре 1240 г. В 1241 г. пало Галицко-Волынское княжество. Монгольские полчища вторглись в Польшу, Венгрию, Чехию, вышли к Северной Италии и Германии, но обессиленные отчаянным сопротивлением русских отрядов, лишенные подкреплений отступили и вернулись в степи Нижнего Поволжья. Здесь в 1243 г. было создано государство Золотая Орда (столица Сарай-Вату), владычество которой были вынуждены признать разоренные русские земли. Установилась система, вошедшая в историю под названием монголо-татарского ига. Сущность этой системы, унизительной в духовном и грабительской в экономическом отношениях, состояла в том, что: русские княжества в состав Орды не вошли, сохранили собственные княжения; князья, в особенности великий князь владимирский, получали ярлык на княжение в Орде, утверждавшей их пребывание на престоле; они должны были выплачивать большую дань («выход») монгольским правителям. Были проведены переписи населения, установлены нормы сбора дани. Монгольские гарнизоны покинули русские города, но до начала XIV в. сбором дани занимались уполномоченные на то монгольские должностные лица - баскаки. В случае неповиновения (а антимонгольские восстания вспыхивали нередко) на Русь присылались карательные отряды - рати.

Встают два важных вопроса: почему русские княжества, проявив героизм и мужество, не смогли дать отпор завоевателям? Какие последствия имело для Руси иго? Ответ на первый вопрос очевиден: конечно, имело значение военное превосходство монголо-татар (жесткая дисциплина, отличная конница, прекрасно налаженная разведка и др.), но решающую роль сыграли разобщенность русских князей, их распри, неспособность объединиться даже перед лицом смертельной угрозы.

Второй вопрос вызывает споры. Одни историки указывают на положительные последствия ига в смысле формирования предпосылок для создания единого Российского государства. Другие подчеркивают, что иго не оказало значительного влияния на внутреннее развитие Руси. Большинство ученых сходятся в следующем: набеги нанесли тяжелейший материальный урон, сопровождались гибелью населения, опустошением деревень, разорением городов; дань, уходившая в Орду, истощала страну, затрудняла восстановление и развитие хозяйства; Южная Русь фактически обособилась от Северо-Западной и Северо-Восточной, их исторические судьбы на долгое время разошлись; прервались связи Руси с европейскими государствами; победили тенденции к произволу, деспотизму, единовластию князей.

Последствия нашествия:

Отставание от Европы за 240 лет ига

Сокращение населения, уничтожение городов и сел

Вассальная зависимость от Орды – дань, ярлыки, систематические набеги

Сокращение посевных площадей

Утверждение самодержавной власти.

Потерпев поражение от монголо-татар, Русь смогла успешно противостоять агрессии с северо-запада. К 30-м гг. XIII в. Прибалтика, населенная племенами ливов, ятвягов, эстов и др., оказалась во власти немецких рыцарей-крестоносцев. Действия крестоносцев были частью политики Священной Римской империи и папства по подчинению языческих народов католической церкви. Именно поэтому основными инструментами агрессии являлись духовно-рыцарские ордены: Орден меченосцев (основан в 1202 г.) и Тевтонский орден (основан в конце XII в. в Палестине). В 1237г. эти ордены объединились в Ливонский орден. На границах с Новгородской землей утвердилось мощное и агрессивное военно-политическое образование, готовое воспользоваться ослаблением Руси для включения ее северо-западных земель в зону имперского влияния.

В июле 1240г. девятнадцатилетний новгородский князь Александр в скоротечной битве разгромил в устье Невы шведский отряд Биргера. За победу в Невской битве Александр получил почетное прозвище Невского. Этим же летом активизировались ливонские рыцари: были захвачены Изборск и Псков, воздвигнута пограничная крепость Копорье. Князю Александру Невскому удалось в 1241 г. вернуть Псков, но решающее сражение состоялось 5 апреля 1242 г. на подтаявшем льду Чудского озера (отсюда и название - Ледовое побоище). Зная об излюбленной тактике рыцарей - построении в форме сужающегося клина («свинья»), полководец применил фланговый охват и разгромил неприятеля. Десятки рыцарей погибли, провалившись под лед, не выдержавший веса тяжеловооруженной пехоты. Относительная безопасность северо-западных рубежей Руси, Новгородской земли была обеспечена.

Таким образом, в результате битв на Неве и Чудском озере было отбито нападение на Русь ее северо-западных соседей. Она отстояла свою территорию и веру от посягательств шведских и немецких рыцарей.

Основные даты и события.

1223 – первое столкновение русских войск с монголо-татарскими войсками на реке Калка (русские потерпели поражение)

1236 – разгром монголо-татарами Волжской Булгарии

1237 – 1238 – I поход Батыя на Русь

1239 – 1242 – II поход Батыя на Русь

1240 – Невская битва

1242 – Ледовое побоище на Чудском озере

В дальнейшем, когда будем изучать действия над числами, изображёнными цифрами или буквами (безразлично), нам придётся во многих выводах опираться на те законы действий, которые изучались в арифметике. В силу важности этих законов они называются основными законами действий.

Напомним их.

1. Переместительный закон сложения.

Сумма не изменяется от перемены порядка слагаемых.

Этот закон уже был записан в § 1 в виде равенства:

где а и - любые числа.

Из арифметики известно, что переместительный закон верен для суммы любого числа слагаемых.

2. Сочетательный закон сложения.

Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.

Для суммы трёх слагаемых имеем:

Например, сумму можно вычислить двумя способами так:

Сочетательный закон справедлив для любого числа слагаемых.

Так, в сумме четырёх слагаемых рядом стоящие слагаемые можно как угодно объединять в группы и заменять эти слагаемые их суммой:

Например, мы получим то же число 16, каким бы способом ни группировали рядом стоящие слагаемые:

Переместительным и сочетательным законами часто пользуются при устных вычислениях, располагая числа так, чтобы легче было их сложить в уме.

Поменяем местами два последних слагаемых, получим:

Сложить числа в этом порядке оказалось гораздо легче.

Обычно слагаемые в новом порядке не переписывают, а производят их перемещение в уме: переставив мысленно 67 и И, сразу складывают 89 и 11 и затем прибавляют 67.

Чтобы легче было сложить эти числа в уме, изменим порядок слагаемых так:

Пользуясь сочетательным законом, заключим два последних слагаемых в скобки:

Сложение чисел в скобках произвести легко, получим:

3. Переместительный закон умножения.

Произведение не изменяется от перемены порядка сомножителей:

где - любые числа.

Из арифметики известно, что переместительный закон верен для произведения любого числа сомножителей.

4. Сочетательный закон умножения.

Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей заменить их произведением.

Для произведения трёх сомножителей имеем:

Например, произведение трёх сомножителей 5-3-4 можно вычислить так:

Для произведения четырёх сомножителей имеем:

Например, то же число 20 получится при любой группировке рядом стоящих сомножителей:

Применение переместительного и сочетательного законов умножения часто значительно облегчает вычисления.

Умножить 25 на 37 не очень легко. Переместим два последних сомножителя:

Теперь умножение легко выполнится в уме.

Математики - ленивые люди, поэтому они всё время создавали какие-то формулы, законы, обозначения. Их старания не прошли зря, теперь современный человек может легко решать уравнения и задачи. С лёгкостью доказывать теоремы по геометрии, и всё это благодаря формулам, обозначениям, свойствам!

Законы умножения и сложения

Их для умножения и сложения чисел всего три. Они очень полезны, благодаря им можно с лёгкостью решать большие уравнения. Каждый из них имеет свою формулу и название.

Первый закон умножения и сложения - сочетательный. Числа в таком случае группируют, зная, что сумма и произведение все равно не изменятся.

Второй закон умножения и сложения - переместительный. В этом случае числа перемещают так, как будет удобно, зная, что сумма и произведение также останутся теми же.

Третий, наиболее часто используемый, - распределительный закон. Его смысл в том, чтобы выполнять действия не отдельно для каждого числа, а умножать сразу на сумму. И наоборот, вносить множитель в скобки, умножая на каждое слагаемое. Это действительно удобно, и стоит научиться использовать этот закон!

Эти законы нельзя использовать для деления и вычитания, так как они могут изменить конечный результат.

Распределительный закон

Он очень удобен, ведь с его помощью можно умножать число на сумму без каких-либо трудностей! А всё потому, что распределять намного удобнее, чем просто умножать на каждый множитель.

Для наглядности можно рассмотреть пример, где он применяется при умножении и сложении.

Дано выражение: 3 х 2 + 3 х 5.

Так выглядит обычное выражение. Если мы будем использовать распределительный закон, оно будет выглядеть так: 3 х (2 + 3) = 3 х 5 = 15.

Как видим, пользуясь этим удобным "средством", можно намного быстрее решать различные уравнения!

Всё на свете имеет своё название и формулировку, распределительный закон - не исключение! Стоит заучить его формулировку, чтобы с лёгкостью пользоваться им в любых условиях и при любых обстоятельствах. Стоит понять его действие!

Пример, где применяется распределительный закон умножения относительно сложения

Рассмотрим ещё один пример, где применим этот закон: 2 х 5 + 2 х 3 = 16.

Такое выражение было первоначально, а потом оно стало таким: 2 х (5 + 3) = 2 х 8 = 16.

Как видим, ответ не изменился, а выполнять действия стало намного легче! Это же прекрасно! Мы смогли облегчить себе жизнь!

Распределительный закон умножения относительно сложения очень полезен, поэтому им нужно пользоваться! Не стоит бояться пробовать что-то новое! Все свойства, теоремы и формулы есть в математике неспроста!

Методическая информация.

1. Тип урока по основной дидактической цели - урок закрепления и систематизации знаний; выработки умений по применению распределительного закона умножения.

2. Цели урока:

1) образовательные: систематизировать, расширить и углубить знания, формировать умение применять распределительный закон умножения при решении задач, продолжить выявление пробелов в знаниях и ликвидировать их.

2) развивающие: способствовать развитию наблюдательности, умения находить наиболее рациональные пути решения задач, развивать вычислительные навыки, продолжить формирование у учащихся умения самостоятельно работать.

3) воспитательные: воспитание чувства ответственности за результат, воспитывать культуру умственного труда, развивать коммуникативные качества личности, развивать способность самооценки.

3. Задачи урока:

Активизировать знания учащихся о распределительном законе, расширить и углубить знания по теме. Создать условия для того, чтобы учащиеся могли применять их на практике при решении примеров, уравнений и текстовых задач. Развивать устойчивый познавательный интерес к изучению математики. Вырабатывать умение самокритично оценивать свои знания и выбирать задания соответственно своему уровню знаний.

4. Знании, умения, навыки и качества, которые закрепят ученики в ходе урока:

продолжить выработку умений применять распределительный закон умножения при упрощении выражений, путем вынесения общего множителя за скобки, для более рационального счета, решать уравнения и составлять их при решении текстовых задач.

5. Оборудование:

Слайдоваяпрезентация урока “Распределительный закон умножения”, классная доска, ноутбук, экран, медиа-проектор, учебник “Математика, 5” автор Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, индивидуальные оценочны листы, карточки с заданиями к “Математической эстафете”, карточки с задачами, карточки с тестами, листы с заданиями для самостоятельной работы трех уровней.

Учитель приветствует учащихся, сообщает тему урока (Приложение 1. Слайд №1) , эпиграф (Приложение 1. Слайд №2) , ставит перед классом цели урока (Приложение 1. Слайд №3) , план урока (Приложение 1.Слайд №4) , правила заполнения индивидуальных оценочных листов.

Здравствуйте, ребята! Сегодня на уроке нам предстоит повторить распределительный закон умножения и подготовиться к контрольной работе. Будьте внимательны! Наш урок

будет состоять из нескольких этапов, вы их видите на слайде (Приложение 1. Слайд №3) , оценку за урок мы будем накапливать (Приложение 1. Слайд №5) и в конце урока подведем итоги. Ваша работа будет считаться успешной и получаете оценку “5”, если вы наберете от 37 до 41 баллов, если вы набираете от 29 до 36 баллов, то вы получаете оценку “4”, если от 20 до 28 – оценку “3”, менее 20 баллов - оценку “2”.

Цель этапа: подчеркнуть важность выполнения домашнего задания, искать рациональные пути решения для упрощения вычислительной работы, выявление пробелов в знаниях.

Знания: вынесение за скобки общего множителя числового или буквенного.

Умения: составление уравнений и их решение, нахождение неизвестной компоненты.

Форма работы: фронтальная, самопроверка.

Используемые цифровые ресурсы или их компоненты – (Приложение 1. Слайд №6).

Домашнее задание:

1. Упростите выражение.

2. Вычислите наиболее простым способом.

3. Решите уравнение.

4. Решите задачу.

В семье 4 человека: мама, папа, сын и дочь. Вместе им 110 лет. Мама старше дочери в 5 раз, и младше отца на 6 лет, а дочь младше сына в 2 раза. Сколько лет каждому из членов семьи?

Деятельность учителя – учитель зачитывает верные ответы к заданиям домашней работы.

Деятельность ученика – сверяет свои ответы с готовыми на экране.

Задания домашней работы проецируются на экран с готовыми ответами. Учащимся предлагается сравнить их со своими ответами и оценить каждое верно выполненное задание 1 баллом. Максимальное число баллов на данном этапе – 10. Полученные баллы учащиеся заносят в индивидуальный оценочный лист.

Ребята, а каким способом вы решали задание №2?

Часть учащихся решали по действиям, другие с помощью распределительного закона. Сравниваем и делаем вывод, что второй способ не требует больших вычислений и он более рациональный. При разборе задачи №4 выясняем, что учащиеся принимали за х, какое уравнение составили и какой ответ получили.

3 этап. “Разминка” - тест с взаимопроверкой (в парах) – 7мин.

Цель этапа: актуализировать знания по теме, осуществлять самостоятельную деятельность на уроке, развивать коммуникативные качества.

Умения: применять распределительный закон умножения, находить ошибки в решении товарища, составить уравнение по тексту задачи и решить его.

Форма работы: индивидуальная, а во время проверки - в парах.

(Приложение 1. Слайды №7, №8, №9).

Деятельность учителя – консультирует детей, дает рекомендации по выполнению заданий теста, контролирует самостоятельность решения.

Деятельность ученика: самостоятельно выполняет задания, затем после обмена работами осуществляет проверку работы товарища, сравнивая с готовыми ответами на экране, оценивает баллами его работу. Заносит баллы в индивидуальный оценочный лист. Готовые ответы проецируются на экран. Задания №1 и №2 оцениваются в 1 балл,

№3 – 2 балла. Максимальное число баллов – 9.

Во время проверки теста учитель предлагает учащимся прочитать законы умножения.

Спрашивает ребят: “Кто не ошибся и набрал максимальное количество баллов?”

Большинство ребят сделали верно, настроение улучшается, повышается мотивация, ребята стремятся к дальнейшим победам.

1. Соедините линиями соответствующие законы умножения:

Оценка: 3 балла (по баллу за каждое верное соединение).

1. Отметить знаком “+” верно выполненные выражения.

Оценка – 4 балла за каждое верно выбранное или верно не выбранное выражение.

2. Составьте уравнение к задаче:

Ученик задумал число, умножил его на 8, затем это же число отдельно умножил на 15 и результаты сложил. В сумме получилось 276. Какое число задумал ученик?

Оценка – 2 балла.

4 этап. “Математическая эстафета” - 8 мин.

Цель этапа: выявление пробелов в знаниях, развитие коммуникативных качеств учащихся.

Умения: вынесение общего множителя за скобки, находить неизвестную компоненту в уравнениях.

Форма работы: групповая - в парах и группа 8-9 человек.

Используемые цифровые ресурсы - (Приложение 1. Слайд №10, №11).

Деятельность учителя – консультирует по правилам игры. Организует проверку результатов.

На последней парте каждого ряда находятся по листу с 9 заданиями (по два задания каждой парте). Эти же задания высвечены на экране (Приложение 1. Слайд №10) .

Ученики последней парты, решив два первых задания, передают впереди сидящим учащимся, после чего решают последующие задания высвеченные на экране. Если удаётся решить все задания верно и быстрее своей команды, то ученик получает оценку “5”. На общем листе два задания ученики решают парами. Одно из заданий: решить уравнение, второе – упростить выражение. Эстафет считается оконченной, когда все три листа лежат на первой парте.

Задания 1), 3), 5), 7), 9) - Решить уравнение;

Задания 2), 4), 6), 8) - Упростить выражение.

Ответы к “Математической эстафете”:

Деятельность ученика – решают задания, записывают решение в общий лист, который передают вперед, следующей паре учащихся. Затем команды обмениваются листами с решениями и осуществляют проверку, соотнося с готовыми ответами на экране (Приложение 1. Слайд №11) , выставляют баллы - по 1 за каждое верно решенное задание. Максимум - 9 баллов. Первой, сдавшей решение команде, добавляется 2 балла, второй – 1 балл. Учащиеся заносят командные баллы в оценочный лист.

5. “Решение задач с помощью уравнений”. – 7 мин.

Цель этапа: развитие логико – смыслового мышления.

Умения: введя переменную х и переведя текст задачи на математический язык, составить математическую модель - в виде уравнения, решить его, ответить на вопрос задачи.

Форма работы: групповая - 3 ряда - 3 команды.

Используемые цифровые ресурсы - (Приложение 1. Слайд №12, №13)

Деятельность учителя – выбирает любого из учеников для решения у доски, контролирует правильность решения, оценивает объяснение решения у доски, грамотно заданные вопросы с места. Уравнения и ответы высвечиваются на экране.

Деятельность ученика – решают задачу своей команды на местах, поправляют ответ участников своей команды, решающих у доски (в случае ошибок отвечающего), задают вопросы соперникам, изображая непонимание. Рефлексия: осознание учеником деятельности: того как, каким способом получен результат, какие при этом встречались затруднения, как они были устранены, и что чувствовал ученик при этом.

Верно решившие задачу, заносят в оценочный лист - 3 балла.

Задача 1 ряда.

Маша, Оля и Таня пошли в лес за грибами. Маша собрала в 3 раза больше грибов, чем Таня, а Оля в 2 раза больше, чем Таня. Сколько грибов собрала каждая девочка, если всего они собрали 84 гриба?

Задача 2 ряда.

В лесу жили хамелеоны. Синих хамелеонов было в 7 раз больше, чем красных, а красных в 5 раз больше, чем зеленых. Сколько хамелеонов каждого цвета жило в лесу, если всего их было насчитано 123 хамелеона?

_________________________________________________________________________________

Задача 3 ряда.

В зоопарке жили хищные животные. Тигров было в 2 раза больше, чем ягуаров и в 4 раза меньше, чем пантер. Сколько хищников каждого вида жило в зоопарке, если всего насчитывалось 55 животных?

6 этап. Самостоятельная разно - уровневая работа с самопроверкой - 10 мин.

Вначале этапа учащимся демонстрируются 3 уровня работы и предлагается выбрать самим, оценив реально свои возможности, для получения наибольшего балла

(Приложение 1. Слайды №14, №15, №16).

Цель этапа: проверка знаний по теме, с учетом уровня приобретённых знаний.

Умения: применять распределительный закон умножения для рационального счета, при решении уравнений, составлять математическую модель к текстовой задаче.

Форма работы: индивидуальная работа.

(Приложение 1. Слайды №14 – 19)

Деятельность учителя – организация контроля за самостоятельностью решения и процедуры проверки, сбор карточек с решениями.

Деятельность ученика – учащиеся, которые выбрали задание 1 уровня – заполняют пропуски в решении заданий, 2 уровня – решают типичные задания, 3 уровня – олимпиадные задания. Проводят проверку, сверяя с готовыми ответами на экране, выставляют баллы в индивидуальные оценочные листы. Задания 1 и 2 уровня сложности оцениваются - 1 баллом, их всего шесть, итого максимум – 6 баллов, задания 3 уровня сложности, требующие больше времени на их выполнение – 2 баллами, их четыре, итого – 8 баллов. Рефлексия: осознание учеником деятельности: того как, каким способом получен результат, какие при этом встречались затруднения, как они были устранены, и что чувствовал ученик при этом.

Методы: самоконтроль полученных знаний.

Если позволит время, то можно разобрать на доске задания третьего уровня: №1(б), №2, составить уравнение к заданию №3.

Задания к самостоятельной работе:

Уровень 1.

№1. Упростите выражение. Заполните пропуски.

а) 15x + 20x + x = (_ + _ + _) x = ? x,

б) 24a – 12a – 78 = (_ - _) а - 78 = _ а - _,

в) y + 55y – 56y + 45 = (_ + _ - _) y + _ = _y + _ = _,

№2. Решите уравнение.

Вместе дети собрали - 72 яблока.

Уровень 2.

Задания к самостоятельной работе. Оценка – максимум 6 баллов.

№1. Упростите выражение.

а) 46х + 87х – 38х;
б) 84y - 37y + 41y – 124;
в) 65а + 36а – а – 100;

№2. Решите уравнение:

а) 43х + 2 3х = 98; б) 59а – 38а – 95 = 10.

№3. Решите задачу.

Всего в зоопарке было 26 животных.

Уровень 3. Задания к высокому уровню.

Оценка - по 2 балла за каждое верно решенное задание.

№1. Вычислить как можно более простым способом:

а) 5 2 + 5 22 + 5 222 + 5 2222;
б) 33 25 - 25 23 + 10 15 - 40 5.

№2. Решите уравнение.

(((7х – 2 2х)+6х) – 7х) + 2 4х = 1000.

№3. Решите задачу.

Всего на дереве сидело - 18 птиц.

7 этап. Подведение итогов урока - 5 мин.

Цель этапа: подведение итогов урока, достижения целей урока.

Используемые цифровые ресурсы или их компоненты - (Приложение 1. Слайд №20)

Деятельность учителя- отмечает в какой мере достигнуты цели урока, на что требуется обратить внимание. Комментирует результаты работы учащихся. Выставляет оценки, созданная во время урока “ситуация успеха” принесла удовлетворенность результатами, радость преодоленной трудности.

Деятельность ученика- подсчитывают баллы в индивидуальных оценочных листах, выставляют оценки, в соответствии с заданными критериями.

8. Дифференцированное творческое домашнее задание - 1 мин.

Цель этапа: развитие творческого мышления учащихся

Деятельность учителя- ориентирует на домашнее задание, которое предусматривает уровневую дифференциацию, ориентировано на достигнутый уровень знаний.

Деятельность ученика - записывает домашнее задание.

Спасибо за урок, дети! (Приложение 1. Слайд №21).