कागज से डोडेकाहेड्रोन कैसे काटें। ज्यामितीय आंकड़े

डोडेकाहेड्रोन एक बहुफलक है जिसमें 12 समान पंचकोण होते हैं। यह कई शिल्पों का मूल आंकड़ा है: टेबल कैलेंडर से लेकर ओपनवर्क हैंगिंग लालटेन तक।

और भी तरीके हैं. उदाहरण के लिए, एक पेंटागन का निर्माण एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके किया जा सकता है, लेकिन यह सटीकता की गारंटी नहीं देता है। सबसे आसान तरीका यह है कि एक तैयार आरेख लें, उसे प्रिंट करें और उपयुक्त कागज से एक शिल्प बनाने के लिए इस "पैटर्न" का उपयोग करें। लेकिन यह विधि, अपनी सादगी के बावजूद, हमेशा उपयुक्त नहीं होती है - क्योंकि कभी-कभी आपको एक विशिष्ट आकार का डोडेकाहेड्रोन बनाने की आवश्यकता होती है। आप एक पंचकोण को वांछित पैमाने पर बड़ा कर सकते हैं और केवल उसे प्रिंट कर सकते हैं, फिर नीचे दिए गए चित्र के अनुसार एक आकृति बना सकते हैं।

लेकिन एक "पैटर्न" अभी तक तैयार शिल्प नहीं है। कागज से डोडेकाहेड्रोन कैसे बनाएं? इसके लिए आपको आवश्यकता होगी:

1. उपयुक्त घनत्व का कागज। यह बहुत पतला या बहुत मोटा नहीं होना चाहिए - अधिमानतः 220 ग्राम/वर्ग मीटर, यह बिल्कुल कार्डबोर्ड का घनत्व है जो बच्चों के सेट में बेचा जाता है। यद्यपि मोटे कार्डबोर्ड से त्रि-आयामी आकृतियाँ बनाना काफी संभव है, आपको बस सभी सिलवटों को पूर्व-संसाधित करने की आवश्यकता है - हल्के से काटें या अच्छी तरह से दबाएं ताकि वे अच्छी तरह से और समान रूप से झुकें।

2. कैंची, बुनाई की सुई या उपयोगिता चाकू

डोडेकाहेड्रोन बनाने के लिए युक्तियाँ

यह सलाह दी जाती है कि कागज को बुनाई की सुई, कुंद भाग या किसी नुकीली चीज से मोड़ों पर हल्का सा दबाएं, लेकिन काटें नहीं। साफ-सुथरा, समान तह आधी सफलता है।

यदि हाथ में कोई गोंद नहीं है, तो डोडेकाहेड्रोन को सिलवटों के साथ कट बनाकर और फिर किनारों को एक-दूसरे में डालकर एक निर्माण सेट की तरह इकट्ठा किया जा सकता है।

यदि आप मॉड्यूलर तकनीक (नीचे दिए गए निर्देश) का उपयोग करके डोडेकाहेड्रॉन को असेंबल कर रहे हैं, तो जोड़ों को पेपर क्लिप के साथ चिपकाने या सुरक्षित करने की सलाह दी जाती है, क्योंकि अंतिम मॉड्यूल सुरक्षित होने के बाद ही संरचना स्थिर हो जाएगी।

ओरिगेमी तकनीक का उपयोग करते हुए डोडेकाहेड्रोन

एक ओरिगेमी मॉड्यूल डोडेकाहेड्रोन के लिए एक उत्कृष्ट आधार है। मॉड्यूलर तकनीक का उपयोग करके कागज से डोडेकाहेड्रोन कैसे बनाएं? आपको कागज की 30 आयताकार या चौकोर शीटों की आवश्यकता होगी। प्रत्येक पत्ती को आधा मोड़ा जाता है, फिर प्रत्येक आधे को विपरीत दिशा में मोड़ने की आवश्यकता होती है - आपको चार तहों में एक "अकॉर्डियन" मिलता है। कभी-कभी, यदि शीट चौकोर नहीं है, तो वे तीन तहों में एक "अकॉर्डियन" बनाते हैं। नतीजतन, आपके हाथों में एक संकीर्ण प्रो-कोयला पट्टी है। फिर, संकीर्ण पक्ष के साथ आयत के प्रत्येक तरफ, आपको एक कोने को मोड़ने की आवश्यकता है। कोने एक दिशा में मुड़े होते हैं - ये भविष्य के फास्टनरों हैं जिन्हें अकॉर्डियन में बांधा जाएगा। फिर मॉड्यूल को छोटे पार्श्व कोनों से तिरछे अंदर की ओर मोड़ें। इस प्रकार, ओरिगेमी डोडेकाहेड्रोन के लिए एक मॉड्यूल त्रि-आयामी है, इसमें भविष्य की आकृति के दो किनारे और कोने शामिल हैं। जब सभी मॉड्यूल तैयार हो जाएं, तो असेंबली शुरू हो सकती है।

असेंबली एक इकाई से शुरू होती है, जिसके लिए आपको तीन मॉड्यूल लेने की आवश्यकता होती है। नीचे दी गई तस्वीर में ये नीले, गुलाबी और पीले ओरिगेमी मॉड्यूल हैं। असेंबली आरेख काफी सरल हैं, और यहां तक ​​कि शुरुआती भी ऐसे आंकड़ों को आसानी से संभाल सकते हैं।

डोडेकाहेड्रोन के आधार पर कौन से शिल्प बनाए जा सकते हैं?

कागज़ के डोडेकाहेड्रोन का प्रत्येक पक्ष एक सपाट पंचकोण है, जो अपने आप में विभिन्न प्रकार की विचित्र आकृतियों का आधार हो सकता है। उदाहरण के लिए, नीचे दी गई तस्वीर में, पंचकोण को पांच-नक्षत्र वाले तारे से बदल दिया गया है। ऐसी आकृति में कोई पसलियाँ नहीं हैं, हालाँकि ऐसा माना जाता है। तारे के आकार का पेपर डोडेकाहेड्रोन कैसे बनाएं? ऊपर प्रस्तुत विकास में, प्रत्येक पंचकोण को आवश्यक पाँच-नुकीली आकृति से बदलें और उन्हें किनारों के साथ नहीं, बल्कि शीर्षों पर जोड़ें।

यह तस्वीर एक तारकीय डोडेकेहेड्रोन को दिखाती है। प्रत्येक "किरण" एक ही पंचकोण पर आधारित है।

पंचकोणीय पिरामिडों के स्थान पर कोई भी त्रि-आयामी आकृति बनाई जा सकती है।

नीचे दी गई तस्वीर में, पेंटागन अधिक जटिल ओरिगेमी मॉड्यूल हैं, जिनके चित्र इस तकनीक में रुचि रखने वालों के लिए विशेष साहित्य में पाए जा सकते हैं।

किसी भी मामले में, सबसे सरल डोडेकाहेड्रोन असेंबली योजना में महारत हासिल करने से रचनात्मकता और अपने स्वयं के विकल्प खोजने के लिए पहले से ही जबरदस्त अवसर मिलेंगे।

डोडेकाहेड्रोन बारह नियमित पंचकोणों से बना एक नियमित बहुफलक है। इस शानदार त्रि-आयामी आकृति में समरूपता का एक केंद्र है जिसे डोडेकाहेड्रोन का केंद्र कहा जाता है। इसके अलावा, इसमें समरूपता के पंद्रह तल (प्रत्येक फलक में, उनमें से कोई भी विपरीत किनारे और शीर्ष के मध्य से होकर गुजरता है) और पंद्रह समरूपता अक्ष (समानांतर विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को काटते हुए) शामिल हैं। डोडेकाहेड्रोन का प्रत्येक शीर्ष नियमित आकार के तीन पंचकोणों का शीर्ष है।

डिज़ाइन को इसका नाम इसमें शामिल चेहरों की संख्या से मिला (परंपरागत रूप से, प्राचीन यूनानियों ने पॉलीहेड्रॉन को ऐसे नाम दिए जो आकृति की संरचना बनाने वाले चेहरों की संख्या को दर्शाते हैं)। इस प्रकार, "डोडेकाहेड्रोन" की अवधारणा दो शब्दों के अर्थ से बनी है: "डोडेका" (बारह) और "हेड्रा" (चेहरा)। यह आकृति पांच प्लेटोनिक ठोसों (टेट्राहेड्रोन, ऑक्टाहेड्रोन, हेक्साहेड्रोन (घन) और के साथ) में से एक से संबंधित है। दिलचस्प बात यह है कि कई ऐतिहासिक दस्तावेजों के अनुसार, इन सभी का उपयोग प्राचीन ग्रीस के निवासियों द्वारा टेबल पासे के रूप में सक्रिय रूप से किया जाता था और विभिन्न प्रकार की सामग्रियों से बनाए गए थे।

नियमित पॉलीहेड्रा ने हमेशा अपनी सुंदरता, जैविक प्रकृति और रूपों की असाधारण पूर्णता से लोगों को आकर्षित किया है, लेकिन डोडेकाहेड्रॉन का एक विशेष इतिहास है, जो साल-दर-साल नए, कभी-कभी पूरी तरह से रहस्यमय तथ्य प्राप्त करता है। कई सभ्यताओं के प्रतिनिधियों ने इसमें एक अलौकिक और रहस्यमय सार देखा, उनका दावा था: "कई चीजें बारह की संख्या से विकसित होती हैं।" प्राचीन नष्ट हुए राज्यों के क्षेत्रों में, कांस्य, पत्थर या हड्डी से बनी डोडेकाहेड्रोन के रूप में छोटी मूर्तियाँ अभी भी पाई जाती हैं। इसके अलावा, आधुनिक इंग्लैंड, फ्रांस, जर्मनी, हंगरी और इटली की भूमि में खुदाई के दौरान, पुरातत्वविदों ने दूसरी-तीसरी शताब्दी ईस्वी पूर्व के कई सौ तथाकथित "रोमन डोडेकाहेड्रोन" की खोज की। आकृतियों का मुख्य आयाम चार से ग्यारह सेंटीमीटर तक होता है, और वे सबसे अविश्वसनीय पैटर्न, बनावट और निष्पादन तकनीकों द्वारा प्रतिष्ठित होते हैं। प्लेटो के समय में प्रस्तुत संस्करण कि ब्रह्मांड एक विशाल डोडेकाहेड्रोन है, की पुष्टि 21वीं सदी की शुरुआत में की गई थी। WMAP (NASA के बहुक्रियाशील अंतरिक्ष यान) का उपयोग करके प्राप्त आंकड़ों के गहन विश्लेषण के बाद, वैज्ञानिक प्राचीन यूनानी खगोलविदों, गणितज्ञों और भौतिकविदों की धारणा से सहमत हुए, जो एक समय में आकाशीय क्षेत्र और इसकी संरचना के अध्ययन में लगे हुए थे। इसके अलावा, आधुनिक शोधकर्ताओं का मानना ​​है कि हमारा ब्रह्मांड डोडेकाहेड्रोन का एक अनंत रूप से दोहराया जाने वाला सेट है।

अपने हाथों से एक नियमित डोडेकाहेड्रोन कैसे बनाएं

आज, इस आकृति का डिज़ाइन कलात्मक रचनात्मकता, वास्तुकला और निर्माण के कई रूपों में परिलक्षित होता है। लोक शिल्पकार रंगीन या सफेद कागज से ओपनवर्क डोडेकाहेड्रोन के रूप में असामान्य रूप से सुंदर ओरिगामी बनाते हैं, और वे कार्डबोर्ड आदि से मूल बनाते हैं)। बिक्री पर आप स्मृति चिन्ह बनाने के लिए आवश्यक सभी चीज़ों से युक्त तैयार किट खरीद सकते हैं, लेकिन सबसे दिलचस्प बात यह है कि अलग-अलग हिस्सों के निर्माण से लेकर तैयार संरचना को इकट्ठा करने तक, काम की पूरी प्रक्रिया को अपने हाथों से करना है।

सामग्री:

कार्डबोर्ड से एक नियमित डोडेकाहेड्रोन बनाने के लिए, आपको स्वयं सामग्री और उपलब्ध उपकरणों की आवश्यकता होगी:

• कैंची,
• पेंसिल,
• रबड़,
• शासक,
• गोंद।

एक कुंद चाकू या सीवन भत्ते को मोड़ने के लिए किसी प्रकार का उपकरण रखना अच्छा है, लेकिन यदि आपके पास वे नहीं हैं, तो एक धातु शासक या वही कैंची ठीक काम करेगी।

तारकीय डोडेकाहेड्रोन कैसे बनाएं

तारकीय डोडेकाहेड्रोन में सामान्य डोडेकाहेड्रोन की तुलना में अधिक जटिल संरचना होती है। ये पॉलीहेड्रा छोटे (पहले विस्तार के), मध्यम (दूसरे विस्तार के) और बड़े (नियमित डोडेकाहेड्रोन के अंतिम तारकीय आकार) में विभाजित हैं। उनमें से प्रत्येक की अपनी डिज़ाइन विशेषताएँ और संयोजन हैं। काम करने के लिए, आपको मानक डोडेकाहेड्रॉन बनाने के लिए समान सामग्रियों और उपकरणों की आवश्यकता होगी। यदि आप पहला विकल्प (छोटा डोडेकाहेड्रोन) बनाने का निर्णय लेते हैं, तो आपको पहले तत्व का एक चित्र बनाने की आवश्यकता है, जो संपूर्ण संरचना का आधार बन जाएगा (बाद में इसे चिपकाया जाएगा या पेपर क्लिप का उपयोग करके भागों को इकट्ठा किया जाएगा)।

अपने हाथों से शिल्प बनाना न केवल बच्चों के लिए, बल्कि वयस्कों के लिए भी दिलचस्प है। हालाँकि, वयस्कों के लिए पर्याप्त संख्या में मॉडल का आविष्कार किया गया है, जो कार्यान्वयन की जटिलता और उनके निर्माण पर खर्च किए गए समय में भिन्न हैं। हाल ही में, वयस्कों और बच्चों को जटिल ज्यामितीय आकृतियाँ बनाने में रुचि हो गई है। इस प्रकार की आकृति में इकोसाहेड्रोन शामिल है, जो एक नियमित बहुभुज है और प्लेटोनिक ठोस - नियमित पॉलीहेड्रा में से एक है। इस आकृति में 20 त्रिकोणीय फलक (समबाहु त्रिभुज), 30 किनारे और 12 शीर्ष हैं, जो 5 किनारों का जंक्शन हैं। कागज से एक सही इकोसाहेड्रोन को इकट्ठा करना काफी कठिन है, लेकिन दिलचस्प है। यदि आप ओरिगेमी के शौक़ीन हैं, तो अपने हाथों से पेपर इकोसाहेड्रोन बनाना आपके लिए मुश्किल नहीं होगा। यह रंगीन, नालीदार कागज, पन्नी और फूलों के रैपिंग पेपर से बनाया गया है। विभिन्न प्रकार की सामग्रियों का उपयोग करके, आप अपने आइकोसाहेड्रोन में और भी अधिक सुंदरता और प्रभावशीलता जोड़ सकते हैं। सब कुछ केवल उसके निर्माता की कल्पना और मेज पर उपलब्ध सामग्री पर निर्भर करता है।

हम आपको इकोसाहेड्रोन के विकास के लिए कई विकल्प प्रदान करते हैं, जिन्हें मुद्रित किया जा सकता है, मोटे कागज और कार्डबोर्ड में स्थानांतरित किया जा सकता है, लाइनों के साथ मोड़ा जा सकता है और चिपकाया जा सकता है।

कागज से एक इकोसाहेड्रोन कैसे बनाएं: आरेख

कागज या कार्डबोर्ड की एक शीट से एक इकोसाहेड्रोन को इकट्ठा करने के लिए, आपको पहले निम्नलिखित सामग्री तैयार करनी होगी:

• इकोसाहेड्रोन लेआउट;
• पीवीए गोंद;
• कैंची;
• शासक।

एक इकोसाहेड्रोन बनाते समय, सभी भागों को मोड़ने की प्रक्रिया पर विशेष ध्यान देना महत्वपूर्ण है: कागज को समान रूप से मोड़ने के लिए, आप एक नियमित शासक का उपयोग कर सकते हैं।

उल्लेखनीय है कि इकोसाहेड्रोन रोजमर्रा की जिंदगी में भी पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक सॉकर बॉल एक कटे हुए इकोसाहेड्रोन (एक पॉलीहेड्रॉन जिसमें 12 पेंटागन और नियमित आकार के 20 हेक्सागोन होते हैं) के आकार में बनाई जाती है। यह विशेष रूप से तब दिखाई देता है जब आप परिणामी आइकोसाहेड्रोन को गेंद की तरह ही काले और सफेद रंग में रंगते हैं।

आप पहले दो प्रतियों में काटे गए आइकोसाहेड्रोन का स्कैन प्रिंट करके ऐसी सॉकर बॉल स्वयं बना सकते हैं:

अपने हाथों से एक इकोसाहेड्रोन बनाना एक दिलचस्प प्रक्रिया है जिसमें विचारशीलता, धैर्य और बहुत सारे कागज की आवश्यकता होती है। हालाँकि, अंतिम परिणाम लंबे समय तक आंख को प्रसन्न करेगा। यदि बच्चा पहले ही तीन वर्ष का हो चुका है तो उसे खेलने के लिए इकोसाहेड्रोन दिया जा सकता है। ऐसी जटिल ज्यामितीय आकृति के साथ खेलकर, वह न केवल कल्पनाशील सोच और स्थानिक कौशल विकसित करेगा, बल्कि ज्यामिति की दुनिया से भी परिचित हो जाएगा। यदि कोई वयस्क अपने दम पर एक आइकोसाहेड्रोन बनाने का निर्णय लेता है, तो एक आइकोसाहेड्रोन के निर्माण की ऐसी रचनात्मक प्रक्रिया उसे समय गुजारने की अनुमति देगी और अपने प्रियजनों को जटिल आकार बनाने की अपनी क्षमता भी दिखाएगी।

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डोडेकाहेड्रोन के इतिहास से

स्कूल जाने वाले सभी लोगों ने ज्यामिति का अध्ययन किया, कुछ को यह पसंद आया, कुछ को इतना नहीं, और कुछ को अभी भी इस विज्ञान से परिचित होना बाकी है। और, निस्संदेह, सभी को विभिन्न ज्यामितीय आकृतियाँ बनाने या इकट्ठा करने के लिए कहा गया था, और फिर सबसे अच्छे काम का मूल्यांकन किया गया था। लेकिन, दुर्भाग्य से, सभी शिक्षक ज्यामितीय आकृतियों की उत्पत्ति, उनकी आवश्यकता क्या है, उनका महत्व क्या है और उनका उपयोग कहाँ किया जाता है, के बारे में बात नहीं करते हैं। और आंकड़ों का एक बहुत समृद्ध इतिहास है; वे हमारी दुनिया की किसी भी खोज के समान ही महत्वपूर्ण हैं। और वे हर जगह पाए जाते हैं, हम हमेशा उन पर ध्यान नहीं देते हैं। आज हम आपको डोडेकाहेड्रोन के बारे में बताएंगे।

डोडेकाहेड्रोन शब्द ग्रीक मूल का है और इसमें 2 शब्द शामिल हैं: डोडेका (बारह) और हेड्रा (चेहरा)। डोडेकाहेड्रोन के 12 फलक, 20 शीर्ष हैं, जिनमें से प्रत्येक में 3 किनारे और 30 किनारे हैं। समतल कोणों का योग 324° होता है। यह एक डोडेकाहेड्रोन है, जो बारह नियमित पंचकोणों से बना है। डोडेकाहेड्रोन एक नियमित बहुफलक है और इसमें तीन तारकीय आकृतियाँ हैं।

डोडेकेहेड्रोन को प्राचीन काल में ही जाना जाता था। उदाहरण के लिए, पाइथागोरस स्कूल के छात्रों को स्कूल के बाहर इस शब्द का उच्चारण करने से मना किया गया था, क्योंकि इसके लिए उन्हें अपनी जान गंवानी पड़ सकती थी। इस आकृति को एक पवित्र आकृति के रूप में माना जाता था, वे उसके बारे में कुछ भी कहने से भी डरते थे। केवल दो सौ साल बाद, प्लेटो के समय में, वे इस आंकड़े के बारे में बहुत सावधानी से बात करने लगे। कुछ भी अनावश्यक, विशेषकर आपत्तिजनक या अपमानजनक कुछ भी कहना मना था। उनका मानना ​​था कि डोडेकाहेड्रोन लोगों के ऊर्जा क्षेत्र में स्थित है और मानव चेतना का उच्चतम रूप है। इसके अलावा, यह माना जाता था कि लोग एक विशाल डोडेकाहेड्रोन के अंदर रहते हैं जिसमें हमारा ब्रह्मांड स्थित है, और जब किसी व्यक्ति का दिमाग ब्रह्मांड के स्थान की बहुत सीमा तक पहुंचता है, तो वह एक गोले में बंद डोडेकाहेड्रोन पर ठोकर खाता है।

हमारे जीवन में डोडेकाहेड्रोन

आप डोडेकाहेड्रोन कहां पा सकते हैं? ध्यान से विचार करें! संभवतः लगभग सभी ने इसे एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर के रूप में देखा है, उदाहरण के लिए, टीवी पर लोट्टो गेम में या टेबलटॉप रोल-प्लेइंग गेम में। डोडेकाहेड्रोन खेल "पेंटाकोर" में पाया जा सकता है, जिसकी दुनिया को इस आकृति के रूप में दर्शाया गया है। और, निःसंदेह, सभी ने पेंटागन के बारे में सुना है; अमेरिकी रक्षा विभाग की इस इमारत का आकार एक नियमित पेंटागन जैसा है।

अगस्त 2006 में, आकाशगंगाओं के समूह में डार्क मैटर के वितरण का मानचित्रण करते समय, यह निष्कर्ष निकाला गया कि हमारा ब्रह्मांड अंतहीन रूप से दोहराए जाने वाले डोडेकेहेड्रॉन के एक सेट जैसा दिखता है।

नियमित पॉलीहेड्रा ने हमेशा अपने रूपों की पूर्णता और पूर्ण, असंभव प्रतीत होने वाली समरूपता के साथ ध्यान आकर्षित किया है। इनमें से कुछ शरीर प्रकृति में पाए जाते हैं, उदाहरण के लिए क्रिस्टल के रूप में, अन्य वायरस या प्रोटोजोआ सूक्ष्मजीवों के रूप में हो सकते हैं।

आप हमारे डोडेकाहेड्रोन पैटर्न का उपयोग करके इस अद्भुत आकृति को इकट्ठा कर सकते हैं।

कागज या कार्डबोर्ड से डोडेकाहेड्रोन का विकास

एक नियमित डोडेकाहेड्रोन का आरेख	सूत्रों के साथ डोडेकाहेड्रोन आरेख	मानव जाति की महान खोजों के साथ डोडेकाहेड्रोन का आरेख